Найдите 1000 натуральных чисел сумма которых равна их произведению
Перейти к содержимому

Найдите 1000 натуральных чисел сумма которых равна их произведению

  • автор:

Найдите 1000 натуральных чисел сумма которых равна их произведению

Произведение двух натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 10, равно 1000. Найдите их сумму.

Решение

Так как 1000 = 5³·2³, то каждое из чисел в своем разложении на простые множители может содержать только двойки и пятёрки. При этом оба этих множителя не могут присутствовать в разложении одного числа, иначе оно будет делиться на 10.
Следовательно, одно из чисел равно 5³, а другое – 2³, а их сумма равна 5³ + 2³ = 125 + 8 = 133.

Ответ

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2009
Класс
Класс 8
задача
Номер 06.4.8.1

Найдите 1000 натуральных чисел сумма которых равна их произведению

Король хочет построить 6 крепостей и соединить каждую с каждой прямолинейными дорогами так, чтобы получилось только и на каждом перекрёстке пересекались ровно две дороги. Сможет ли он это сделать?

Дополнительные задачи

Придумайте 1000 чисел (не обязательно различных), сумма которых равна их произведению.
8.

Вы видите ошибку? Выделите её и нажмите Ctrl+Enter!


Найдите 1000 натуральных чисел, сумма которых равна их произведению. С объяснением.

Давайте упростим задачу и будем брать максимальное кол-во 1.

Очевидно, что 1000 единиц не равно их произведению, поэтому давайте возьмем 999 единиц и какое-то натуральное х, тогда по условию у нас будет х + 999 = 1*1. *1*х = х тогда 999 = 0*х это противоречие.

Возьмем 998 единиц и два натуральных числа х и у, тогда 998 + х + у = 1*х*у
998 = х*(у — 1) + (1 — у) — 1 = (х — 1)*(у — 1) — 1
т. е. (х — 1)*(у — 1) = 999, где х и у натуральные

Отсюда (х — 1 = 999 и у — 1 = 1) или (х — 1 = 111 и у — 1 = 9)

Тогда нам удовлетворяют две вары таких чисел х и у (112, 10) и (1000, 9)

Тогда решением является 998 единиц, 122 и 10
а так же решение 998 единиц, 1000 и 2

Сумма и произведение цифр числа

Одной из часто используемых задач для начинающих изучать программирование является нахождение суммы и произведения цифр числа. Число может вводиться с клавиатуры или генерироваться случайно. Задача формулируется так:

Дано число. Найти сумму и произведение его цифр.

Например, сумма цифр числа 253 равна 10-ти, так как 2 + 5 + 3 = 10. Произведение цифр числа 253 равно 30-ти, так как 2 * 5 * 3 = 30.

В данном случае задача осложняется тем, что количество разрядов числа заранее (на момент написания программы) не известно. Это может быть и трехзначное число, как в примере выше, и восьмизначное, и однозначное.

Обычно предполагается, что данная задача должна быть решена арифметическим способом и с использованием цикла. То есть с заданным число должны последовательно выполняться определенные арифметические действия, позволяющие извлечь из него все цифры, затем сложить их и перемножить.

При этом используются операции деления нацело и нахождения остатка. Если число разделить нацело на 10, произойдет «потеря» последней цифры числа. Например, 253 ÷ 10 = 25 (остаток 3). С другой стороны, эта потерянная цифра есть остаток от деления. Получив эту цифру, мы можем добавить ее к сумме цифр и умножить на нее произведение цифр числа.

Пусть n – само число, suma – сумма его цифр, а mult – произведение. Тогда алгоритм нахождения суммы и произведения цифр можно словесно описать так:

  1. Переменной suma присвоить ноль.
  2. Переменной mult присвоить единицу. Присваивать 0 нельзя, так как при умножении на ноль результат будет нулевым.
  3. Пока значение переменной n больше нуля повторять следующие действия:
    1. Найти остаток от деления значения n на 10, то есть извлечь последнюю цифру числа.
    2. Добавить извлеченную цифру к сумме и увеличить на эту цифру произведение.
    3. Избавиться от последнего разряда числа n путем деления нацело на 10.

    В языке Python операция нахождения остатка от деления обозначается знаком процента — % . Деление нацело — двумя слэшами — // .

    Код программы на языке Python

    n = int(input()) suma = 0 mult = 1 while n > 0: digit = n % 10 suma = suma + digit mult = mult * digit n = n // 10 print("Сумма:", suma) print("Произведение:", mult)
    253 Сумма: 10 Произведение: 30

    Python. Вычисление суммы и произведения цифр числа

    Изменение значений переменных можно записать в сокращенном виде:

    . while n > 0: digit = n % 10 suma += digit mult *= digit n //= 10 .

    Приведенная выше программа подходит только для нахождения суммы и произведения цифр натуральных чисел, то есть целых чисел больше нуля. Если исходное число может быть любым целым, следует учесть обработку отрицательных чисел и нуля.

    Если число отрицательное, это не влияет на сумму его цифр. В таком случае достаточно будет использовать встроенную в Python функции abc , которая возвращает абсолютное значение переданного ей аргумента. Она превратит отрицательное число в положительное, и цикл while с его условием n > 0 будет работать как и прежде.

    Если число равно нулю, то по логике вещей сумма его цифр и их произведение должны иметь нулевые значения. Цикл срабатывать не будет. Поскольку исходное значение mult — это 1, следует добавить проверку на случай, если заданное число — это ноль.

    Программа, обрабатывающая все целые числа, может начинаться так:

    n = abs(int(input())) suma = 0 mult = 1 if n == 0: mult = 0 .

    Заметим, если в самом числе встречается цифра 0 (например, 503), то произведение всех цифр будет равно нулю. Усложним задачу:

    Вводится натуральное число. Найти сумму и произведение цифр, из которых состоит это число. При этом если в числе встречается цифра 0, то ее не надо учитывать при нахождении произведения.

    Для решения такой задачи в цикл добавляется проверка извлеченной цифры на ее неравенство нулю. Делать это надо до умножения на нее значения переменной-произведения.

    n = int(input()) suma = 0 mult = 1 while n > 0: digit = n % 10 if digit != 0: suma += digit mult *= digit n = n // 10 print("Сумма:", suma) print("Произведение:", mult)

    Обратим внимание, что заголовок условного оператора if digit != 0: в Python можно сократить до просто if digit: . Потому что 0 — это False . Все остальные числа считаются истиной.

    Приведенный выше математический алгоритм нахождения суммы и произведения цифр числа можно назвать классическим, или универсальным. Подобным способом задачу можно решить на всех императивных языках, независимо от богатства их инструментария. Однако средства языка программирования могут позволить решить задачу другим, зачастую более простым, путем. Например, в Python можно не преобразовывать введенную строку к числу, а извлекать из нее отдельные символы, которые преобразовывать к целочисленному типу int :

    a = input() suma = 0 mult = 1 for digit in a: suma += int(digit) mult *= int(digit) print("Сумма:", suma) print("Произведение:", mult)

    Если добавить в код проверку, что извлеченный символ строки действительно является цифрой, то программа станет более универсальной. С ее помощью можно будет считать не только сумму и произведение цифр целых чисел, но и вещественных, а также цифр, извлекаемых из произвольной строки.

    n = input() suma = 0 mult = 1 for digit in n: if digit.isdigit(): suma += int(digit) mult *= int(digit) print("Сумма:", suma) print("Произведение:", mult)
    это3 чи3с9ло! Сумма: 15 Произведение: 81

    Строковый метод isdigit проверяет, состоит ли строка только из цифр. В нашем случае роль строки играет одиночный, извлеченный на текущей итерации цикла, символ.

    Глубокое знание языка Python позволяет решить задачу более экзотическими способами:

    import functools n = input() n = [int(digit) for digit in n] suma = sum(n) mult = functools.reduce(lambda x, y: x*y, n) print("Сумма:", suma) print("Произведение:", mult)

    Выражение [int(digit) for digit in n] представляет собой генератор списка. Если была введена строка «234» , будет получен список чисел: [2, 3, 4] .

    Встроенная функция sum считает сумму элементов переданного ей аргумента.

    Функция reduce модуля functools принимает два аргумента — лямбда-выражение и в данном случае список. Здесь в переменной x происходит накопление произведения, а y принимает каждое следующее значение списка.

    X Скрыть Наверх

    Решение задач на Python

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *