Найди треугольники которые вписаны в окружность
Перейти к содержимому

Найди треугольники которые вписаны в окружность

  • автор:

Помогите с алгеброй, срочно!!

ABC
PRT
DEF
MNL
EFG
KLM

Голосование за лучший ответ

Вписанный — ВСЕ вершины которого лежат НА окружности
PRT MNL

lokikal mailУченик (127) 3 года назад

Треугольник вписанный в окружность

Треугольник, вписанный в окружность — это треугольник, который
находится внутри окружности и соприкасается с ней всеми тремя вершинами.

На рисунке 1 изображена окружность, описанная около
треугольника
и окружность, вписанная в треугольник.

ВD = FC = AE — не диаметры описанной около треугольника окружности.

O — центр вписанной в треугольник окружности.

Треугольник вписанный в окружность

Формулы

Радиус вписанной окружности в треугольник

r — радиус вписанной окружности.

  1. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известна площадь и все стороны:
    \[ r = \frac\]
  2. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны площадь и периметр:
    \[ r = \fracP> \]
  3. Радиус вписанной окружности в треугольник,
    если известны полупериметр и все стороны:
    \[ r = \sqrt

    > \]

Радиус описанной окружности около треугольника

R — радиус описанной окружности.

  1. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известна одна из сторон и синус противолежащего стороне угла:
    \[ R = \frac\]
  2. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и площадь:
    \[ R = \frac\]
  3. Радиус описанной окружности около треугольника,
    если известны все стороны и полупериметр: \[ R = \frac> \]

Площадь треугольника

S — площадь треугольника.

  1. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр и радиус вписанной окружности: \[ S = pr \]
  2. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен полупериметр: \[ S = \sqrt \]
  3. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известен высота и основание: \[ S = \frac2 ah \]
  4. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известна сторона и два прилежащих к ней угла: \[ S = \frac\]
  5. Площадь треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и синус угла между ними: \[ S = \fracab \cdot \sin \angle C \]

Периметр треугольника

P — периметр треугольника.

  1. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны все стороны:
    \[ P = a + b + c \]
  2. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и радиус вписанной окружности:
    \[ P = \frac\]
  3. Периметр треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и угол между ними: \[ P = \sqrt < b2 + с2 — 2 * b * с * cosα>+ (b + с) \]

Сторона треугольника

a — сторона треугольника.

  1. Сторона треугольника вписанного в окружность,
    если известны две стороны и косинус угла между ними: \[ a = \sqrt \]
  2. Сторона треугольника вписанного в
    окружность, если известна сторона и два угла:
    \[ a = \frac\]

Средняя линия треугольника

l — средняя линия треугольника.

  1. Средняя линия треугольника вписанного
    в окружность, если известно основание:
    \[ l = \frac\]
  2. Средняя линия треугольника вписанного в окружность,
    если известныдве стороны, ни одна из них не является
    основанием, и косинус угламежду ними:
    \[ l = \frac>\]

Высота треугольника

h — высота треугольника.

  1. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известна площадь и основание: \[ h = \frac\]
  2. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен сторона и синус угла прилежащего
    к этой стороне, и находящегося напротив высоты: \[ h = b \cdot \sin \alpha \]
  3. Высота треугольника вписанного в окружность,
    если известен радиус описанной окружности и
    две стороны, ни одна из которых не является основанием: \[ h = \frac\]

Свойства

  • Центр вписанной в треугольник окружности
    находится на пересечении биссектрис.
  • В треугольник, вписанный в окружность,
    можно вписать окружность, причем только одну.
  • Для треугольника, вписанного в окружность,
    справедлива Теорема Синусов, Теорема Косинусов
    и Теорема Пифагора.
  • Центр описанной около треугольника окружности
    находится на пересечении серединных перпендикуляров.
  • Все вершины треугольника, вписанного
    в окружность, лежат на окружности.
  • Сумма всех углов треугольника — 180 градусов.
  • Площадь треугольника вокруг которого описана окружность, и
    треугольника, в который вписана окружность, можно найти по
    формуле Герона.

Доказательство

Около любого треугольника, можно
описать окружность притом только одну.

около треугольника описана окружность

окружность и треугольник,
которые изображены на рисунке 2.

окружность описана
около треугольника.

  1. Проведем серединные
    перпендикуляры — HO, FO, EO.
  2. O — точка пересечения серединных
    перпендикуляров равноудалена от
    всех вершин треугольника.
  3. Центр окружности — точка пересечения
    серединных перпендикуляров — около
    треугольника описана окружность — O,
    от центра окружности к вершинам можно
    провести равные отрезки — радиусы — OB, OA, OC.

окружность описана около треугольника,
что и требовалось доказать.

Подводя итог, можно сказать, что треугольник,
вписанный в окружность
— это треугольник,
в котором все серединные перпендикуляры
пересекаются в одной точке, и эта точка
равноудалена от всех вершин треугольника.

Найди треугольники которые вписаны в окружность

В углы B и C треугольника ABC вписаны две окружности радиусов 2 и 3, касающиеся биссектрисы угла A треугольника.
Найдите эту биссектрису, если расстояние между точками, в которых окружности касаются BC, равно 7.

Решение

Пусть окружность радиуса 2 с центром O1 касается биссектрисы AD и стороны BC треугольника ABC в точках M и K соответственно, а окружность радиуса 3 с центром O2 касается AD и BC в точках соответственно N и L. Обозначим ∠O1DK = α. Поскольку DO1 и DO2 – биссектрисы смежных углов, ∠O1DO2 = 90°, ∠O2DL = 90° – ∠O1DK = 90° – α, ∠DO2L = α.
AO1 и AO2 – биссектрисы равных углов CAD и BAD, значит, ∠O1AM = ∠O2AN. Следовательно, прямоугольный треугольник O1AM подобен прямоугольному треугольнику O2AN, причём коэффициент подобия равен O1M /O2N = 2 /3. В частности, AM 3 /2 AM, то AM = 2MN = 10, а AD = AM + MD = 16.

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4564

Найди треугольники которые вписаны в окружность

Разделы

Дополнительно

МАТЕМАТИКА

  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • МЕХАНИКА
  • – Кинематика
  • – Динамика поступательного движения
  • – Динамика вращательного движения
  • – Статика
  • ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ
  • ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ
  • ГИДРОСТАТИКА И ГИДРОДИНАМИКА
  • ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ И ВОЛНОВАЯ ОПТИКА
  • ТЕРМОДИНАМИКА И МОЛЕКУЛЯРНАЯ ФИЗИКА
  • КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ
  • АТОМНАЯ И ЯДЕРНАЯ ФИЗИКА
  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • — Элементарная математика
  • — Элементарная арифметика
  • — Элементарная алгебра
  • — Теория элементарных функций и элементы анализа
  • Высшая математика
  • — Математический анализ
  • — Теория вероятности и мат. статистика
  • Геометрия
  • — Планиметрия
  • — Стереометрия
  • Математическая логика
  • — Комбинаторика
  • — Теория графов
  • ВСЕ ЗАДАЧИ
  • — Неорганическая химия
  • — Органическая химия

Задача по математике — 4195

Две окружности радиуса $r$ касаются друг друга. Кроме того, каждая из них касается изнутри третьей окружности радиуса $R$ в точках $A$ и $B$ соответственно. Найдите радиус $R$, если $AB=11$, $r=5$.

Задача по математике — 4196

Две касающиеся окружности с центрами $O_<1>$ и $O_$ касаются внутренним образом окружности радиуса $R$ с центром $O$. Найдите периметр треугольника $OO_<1>O_$.

Задача по математике — 4197

Дана окружность радиуса $R$. Четыре окружности равных радиусов касаются данной внешним образом, и каждая из этих четырёх окружностей касается двух других. Найдите радиусы этих четырёх окружностей.

Задача по математике — 4198

В прямоугольной трапеции лежат две окружности. Одна из них, радиуса 4, вписана в трапецию, а вторая, радиуса 1, касается двух сторон трапеции и первой окружности. Найдите площадь трапеции.

Задача по математике — 4199

В равнобедренном треугольнике $ABC$ на основании $AC$ взята точка $M$ так, что $AM=a$, $MC=b$. В треугольники $ABM$ и $CBM$ вписаны окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком $BM$.

Задача по математике — 4200

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются стороны $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Известно, что $AM=3$, $MD=2$, $DN=2$, $NC=4$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4201

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность радиуса $\frac<2>>$, вписанная в треугольник $ABD$, касается стороны $AB$ в точке $M$, а окружность радиуса $\sqrt$, вписанная в треугольник $BCD$, касается стороны $BC$ в точке $N$. Известно, что $BM=6$, $BN=5$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4202

В треугольнике $ABC$ на стороне $AC$ взята точка $D$ так, что окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BCD$, касаются. Известно, что $AD=2$, $CD=4$, $BD=5$. Найдите радиусы окружностей.

Задача по математике — 4203

Точка $D$ лежит на стороне $AC$ треугольника $ABC$. Окружность $S_<1>$, вписанная в треугольник $ABD$, касается отрезка $BD$ в точке $M$; окружность $S_$, вписанная в треугольник $BCD$, — в точке $N$. Отношение радиусов окружностей $S_<1>$ и $S_$ равно $\frac$. Известно, что $BM=3$, $MN=ND=1$. Найдите стороны треугольника $ABC$.

Задача по математике — 4204

Высота, опущенная из вершины прямого угла на гипотенузу, делит треугольник на два треугольника, в каждый из которых вписана окружность. Найдите углы и площадь треугольника, образованного катетами исходного треугольника и прямой, проходящей через центры этих окружностей, если высота исходного треугольника равна $h$.

Задача по математике — 4205

В прямоугольном треугольнике $ABC$ катеты $AB$ и $AC$ равны 4 и 3 соответственно. Точка $D$ делит гипотенузу $BC$ пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники $ADC$ и $ABD$.

Задача по математике — 4206

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=\sqrt<3>$, $BC=4$, $AC=\sqrt$ проведена медиана $BD$. Окружности, вписанные в треугольники $ABD$ и $BDC$, касаются $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$.

Задача по математике — 4207

Прямоугольный треугольник $ABC$ разделён высотой $CD$, проведённой к гипотенузе, на два треугольника: $BCD$ и $ACD$. Радиусы окружностей, вписанных в эти треугольники, равны 4 и 3 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Задача по математике — 4208

В треугольнике $ABC$ со сторонами $AB=3$, $BC=4$ и $AC=5$ проведена биссектриса $BD$. В треугольники $ABD$ и $BCD$ вписаны окружности, которые касаются $BD$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите $MN$.

Задача по математике — 4209

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с острым углом $A$, равным $30^$, проведена биссектриса $BD$ другого острого угла. Найдите расстояние между центрами двух окружностей, вписанных в треугольники $ABD$ и $CBD$, если меньший катет равен 1.

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *