Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов
Перейти к содержимому

Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

  • автор:

Как найти ранг системы векторов?

Ранг системы векторов — это количество линейно — независимых векторов в ней ( и равен рану матрицы, составленной из координат концов этих векторов ), в данном случае может быть 1, 2 или 3.
Найдём : домножим сперва 1-ю строку на 20, 2-ю на 15, 3-ю на 12 :
60, 40, -80
60, 15, -30
60, 24, — 36
Вычитаем из 2-й и 3-й строки первую, получаем :
60, 40, -80
0, -25, 50
0, -16, -6
Сокращаем 1-ю строку на 20, 2-ю на 25, 3-ю на 2
3, 2, -4
0, -1, 2
0, -8, -3.
Из 3-й строки вычитаем 8 вторых строк, получаем :
3, 2,-4
0,-1, 2
0, 0, -19.
То есть, все строки в треугольной матрице — ненулевые, это означает, что вектора — линейно-независимые ( то есть ни один из векторов нельзя выразить как линейную комбинацию двух других ), а это означает, что ранг системы
данных векторов равен 3.
Вот и всё.
Удачи !

Остальные ответы

Если составить матрицу из координат этих векторов и привести эту матрицу к треугольному виду, то количество ненулевых строк или столбцов и будет рангом:)

Похожие вопросы

Найти ранг и какой нибудь базис системы векторов

Определение 2. Базисом системы векторов называется максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов.

Теорема. Любой вектор системы можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса системы. (Всякий вектор системы можно разложить по векторам базиса.) Коэффициенты разложения определяются для данного вектора и данного базиса однозначно.

Доказательство. Пусть система имеет базис .

1 случай. Вектор — из базиса. Следовательно, он равен одному из векторов базиса, допустим . Тогда = .

2 случай. Вектор — не из базиса. Тогда r > k .

Рассмотрим систему векторов . Данная система явля ется линейно зависимой, так как — базис, т.е. максимальная линейно независимая подсистема. Следовательно, найдутся числа с1 , с2, …, с k , с, не все равные нулю, такие, что

Очевидно, что (если с= 0 , то базис системы является линейно зависимым).

Докажем, что разложение вектора по базису единственно. Предположим противное: имеется два разложения вектора по базису.

Вычитая эти равенства, получим

Учитывая линейную независимость векторов базиса, получим

Следовательно, разложение вектора по базису единственно.

Количество векторов в любом базисе системы одинаково и равно рангу системы векторов.

Пример. Дана система векторов: (2, 0), (5, 5), (4, 3).

Практическое нахождение ранга и базиса системы векторов

Из данной системы векторов составляем матрицу, расположив векторы как строки этой матрицы. Приводим матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований над строками этой матрицы. При этом не меняется ни ранг матрицы, ни ранг системы векторов-строк. Ранг полученной ступенчатой матрицы, а также полученной ступенчатой системы векторов равен количеству оставшихся ненулевых строк. Базисом системы векторов являются те векторы, на месте которых остались ненулевые строки.

Пример 7.4. Найти ранг и базис системы векторов а 1 = (1, 3, 0, 5), а 2 = (1, 2, 0, 4), а 3 = (1, 1, 1, 3) а 4 = (1, 0, –1, 0), а 5 = (1, –3, 3, –1).

Решение. Действуем по описанной схеме.

Ранг системы векторов равен трем (по количеству оставшихся ненулевых строк), один из базисов образуют векторы а 1, а 2, а 3.

Нахождение ранга системы векторов позволяет решать вопрос о линейной зависимости системы векторов. Если ранг системы векторов равен количеству векторов в системе, то эта система линейно независима, если же ранг системы векторов меньше количества векторов в системе, то эта система векторов линейно зависима.

Так как ранг рассмотренной системы (пример 7.4) векторов а 1, а 2, а 3, а 4, а 5 равен трем и меньше числа векторов, то есть пяти, то система векторов а 1, а 2, а 3, а 4, а 5 линейно зависима.

studopedia.org — Студопедия.Орг — 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.005 с) .

Найти ранг и какой-нибудь базис системы геометрических векторов

Запишем координаты заданных векторов в строки матрицы:

Элементарными преобразованиями приведем матрицу к ступенча.

Что-то не так с работой?

Сводка по ответу

  • Загружено студентом
  • Проверено экспертом
  • Использовано для обучения ИИ
  • Доступно по подписке Кампус+

Купи подписку Кампус+ и изучай ответы

Миллион решенных задач от 299 руб

Купить подписку

Похожие работы

Найти неопределенный интеграл

В урне 4 красных, один белый и один синий шар. Из урны извлекают три шара, не возвращая обратно. Найти вероятность того, что извлечённые шары будут разных цветов.

Решите систему линейных уравнений:

Кампус Библиотека

  • Материалы со всех ВУЗов страны
  • 1 000 000+ полезных материалов
  • Это примеры на которых можно разобраться
  • Учись на отлично с библиотекой

Экосистема Кампус

Набор самых полезных инструментов, работающих на искусственном интеллекте для студентов всего мира.

Экосистема сервисов для учебы в удовольствие

Твой второй пилот в учебе, быстрые ответы на основе ИИ-шки

ТОП-эксперты помогут решить и объяснят тебе любой вопрос по учебе онлайн

Сообщество, где ты найдешь знакомства и получишь помощь

Мультифункциональный умный бот, который всегда под рукой

База знаний из 1 000 000+ материалов для учебы

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *