Найти отношение объемов многогранников на которые плоскость делит пирамиду
Перейти к содержимому

Найти отношение объемов многогранников на которые плоскость делит пирамиду

  • автор:

Задание 14. Тренировочный вариант ЕГЭ № 243 Ларина

а) 1)Соединяем точки Q и P и Q и M (лежат в одной плоскости). Так как Q и P середины, то $$QP\parallel DC$$, тогда построим через М прямую, параллельную DC, пусть она пересекет SC в точке L. То есть $$ML\parallel DC\parallel QP$$, значит QMLP — трапеция

2)Из параллельности ML и DC получаем подобие SML и SDC, тогда, так как DS=CS, то и MD=LC. Так как AD=BC, то их половины QD=PC. $$\angle QDM=\angle PCM$$, тогда треугольники QDM и CPL равны по двум стороным и углу между ними и MQ=PL, то есть тапеция равнобедренная.

б) 1)Разобьем многогранник QDCPLM на четырехугольную пирамиду QDCPM и треугольную MLCP. Пусть объем пирамида SABCD равен V.

2) Если опустить перпендикуляр из точки M к плоскости ABCD, то его длина будет относить к длине перпендикуляра из S к этой плоскости так же, как DM:DS=2:5. При этом площадь QDCP составляет половину от ABCD. Выразим объем QDCPM через V: $$V_=\frac*\fracV=\fracV$$

3) Аналогично рассмотрим пирамиды MLCP и DSCB. Высота первой к высоте второй, опущенный к плоскости SBC будут относиться как SM:SD=3:5. При этом площадь LCP составляет $$\frac$$ от площади SBC, то есть $$\frac$$. Тогда $$V_=\frac*\fracV_=\fracV_$$. Но если рассматривать DSCB как пирамиду с основанием DCB, то очевидно, что $$V_=\fracV$$ и тогда $$V_=\fracV$$

4) В итоге $$V_=\fracV+\fracV=\fracV$$. Тогда оставшаяся часть составим $$V-\fracV=\fracV$$. И отношение частей $$\frac$$

ЕГЭ Профиль №14. Объем многогранника

Объем параллелепипеда находится по формуле: \(V = S \cdot H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты параллелепипеда.

Прямой параллелепипед, у которого основанием является прямоугольник, называется прямоугольным параллелепипедом. Все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны и \( = + + \) , где d – длина диагонали; a, b, c – длины трех ребер, выходящих из одной вершины прямого параллелепипеда (измерения прямоугольного параллелепипеда). Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: \(V = a\,b\,c\) .

Прямоугольный параллелепипед, у которого все ребра равны, называется кубом. При этом \(d = a\sqrt 3 \) , \(V = \) , \(>> = 6\,\) , где d – диагональ куба, a – его ребро.

Объем призмы находится по формуле: \(V = S \cdot H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты призмы.

Объем пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \fracS\,H\) , где S – площадь основания; H – длина высоты пирамиды.

Если у пирамиды все боковые ребра равны между собой или наклонены под одним и тем же углом к плоскости основания, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, описанной около основания пирамиды (эта же точка служит точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам основания пирамиды).

Если у пирамиды боковые грани наклонены к плоскости основания под одним и тем же углом, то основание высоты пирамиды совпадает с центром окружности, вписанной в основание (эта же точка служит точкой пересечения биссектрис углов в основании пирамиды).

Объем усеченной пирамиды вычисляется по формуле: \(V = \fracH\left( + + \sqrt \cdot > \,> \right)\) , где H – высота усеченной пирамиды; \(\) и \(\) – площади ее оснований.


1В.
В треугольной пирамиде ABCD двугранные углы при ребрах AD и BC равны, AB = BD = DC = AC = 5.

б) Найдите объём пирамиды, если двугранные углы равны при рёбрах AD и BC равны \(\) .

2В. В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 30, а боковое ребро SA равно 28. Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.

а) Докажите, что плоскость α делит медиану CE основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.

б) Найдите объём пирамиды, вершиной которой является точка C, а основанием — сечение пирамиды SABC плоскостью α.

3В. В кубе ABCDA1B1C1D1 все рёбра равны 5. На его ребре BB1 отмечена точка K так, что KB = 3. Через точки K и C1 проведена плоскость α, параллельная прямой BD1.

б) Найдите объём большей из двух частей куба, на которые он делится плоскостью α.

4В. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и N соответственно, причём AM = 2, CN = 1.

а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.

б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.

5В. Есть правильная треугольная призма ABCA1B1C1 со стороной основания 12 и высотой 3. Точка K — середина BC, точка L лежит на стороне A1B1 так, что В1L = 5. Точка М — середина A1C1. Через точки K и L проведена плоскость таким образом, что она параллельна прямой AC.

а) Доказать, что указанная выше плоскость перпендикулярна прямой MB.

б) Найти объем пирамиды с вершиной в точке В и у которой основанием является сечение призмы плоскостью.

6В. На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : BM = CN : NB = 1 : 2. Точки P и Q — середины сторон DA и DC соответственно.

а) Докажите, что P, Q, M и N лежат в плоскости.

б)* Найти отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

Задание 14. ЕГЭ. На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM : MA = 1 : 2.

Задание. На ребре SA правильной четырехугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M, причём SM : MA = 1 : 2. Точки P и Q – середины рёбер BC и AD соответственно.

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Решение:

а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией.

Построим сечение пирамиды плоскостью (MPQ). Прямая PQ параллельна АВ, АВ лежит в плоскости (SAB), следовательно, PQ параллельна плоскости (SAB). Точка М является общей точкой плоскостей (SAB) и (MPQ).

Если две плоскости имеют общую точку, то они пересекаются по прямой, проходящей через эту точку. В данном случае плоскость (MPQ) пересекает плоскость (SAB) по прямой MN, параллельной АВ. Точки M и P лежат в одной плоскости, проведем прямую MP. Сечение плоскостью (MPQ) построено.

По построению AB ǁ MN, причём AB MN.

Так как ∠S – общий, ∠SMN = ∠SAB (AB ǁ MN, AS – секущая), то треугольники ΔSAB и ΔSMN подобны, следовательно,

Так как AM = BN, AQ = BP, ∠MAQ = ∠NBP, то треугольники Δ MAQ = Δ NBP и MQ = NP.

Следовательно, четырехугольник MNPQ – равнобедренная трапеция.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

Плоскость (MPQ) делит пирамиду SABCD на два многогранника: пятигранник AMQBNP и многогранник SMQDCPN.

Объём пятигранника AMQBNP состоит из суммы объёмов четырехугольной пирамиды MABPQ с основание ABPQ и треугольной пирамиды MBNP с основанием BNP:

Объём пирамиды ASBC равен:

Высота пирамиды ASBC – это расстояние от точки А до плоскости (SBC), а высота пирамиды MBNP – это расстояние от точки М до плоскости (BNP).

Расстояние от точки М до плоскости (BNP) относится к расстоянию от точки А до (SBC) как 1 : 3, т. е.

Так как ∠B – общий угол для треугольников ΔBNP и ΔBSC, то площади этих треугольников относятся как произведения сторон, заключающих равные углы, т. е.

Тогда отношение объёмов пирамиды MBNP и пирамиды ASBC равно:

Высота пирамиды MABPQ – это расстояние от точки М до плоскости (ABPQ), а высота пирамиды SABCD – это расстояние от точки S до (ABCD).

Расстояние от точки М до плоскости (ABPQ) относится к расстоянию от точки S до (ABCD) как 2 : 3, т. е.

Так как точки P и Q – середины рёбер BC и AD соответственно, то

Тогда отношение объёмов пирамиды MABPQ и пирамиды SABCD равно:

Объём пятигранника AMQBNP равен:

Объём многогранника SMQDCPN равен:

Таким образом, отношение объёмов пятигранника AMQBNP и многогранника SMQDCPN равно:

Ответ: 7/11

С2 (№16) на нахождение отношения объемов многогранников

Видеорешение задачи категории С2 ЕГЭ по математике . Задача из тренировочной работы № 53 А. Ларина.

Дана пирамида SABC, точки D и E лежат на ребрах SA и SB, причем SD:DA=1:2 и SE:EB=1:2. Через точки D и E проведена плоскость, параллельная ребру SC. В каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды?

Задача для самостоятельного решения:
Плоскость проходит через вершину A основания треугольной пирамиды SABC, делит пополам медиану SK треугольника SAB , а медиану SL треугольника SAC пересекает в такой точке D , для которой SD:DL = 1:2 . В каком отношении делит эта плоскость объём пирамиды?

Смотрите также задачи С4(№18), С5(№20) из этой же тренировочной работы.

Автор: egeMax | Нет комментариев
Похожие статьи на сайте.

  • Задение №17 Т/Р №113 А. Ларина
  • Задание №13 Т/Р №166 А. Ларина
  • С2 (№16) диагностической работы по математике от 12 декабря 2013
  • Задание №18 (С4) Т/Р №96 А. Ларина
  • Задание №14 Т/Р №194 А. Ларина
  • Задание №17 Т/Р №176 А. Ларин

Добавить комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *